摘 要：本文从利用数学知识的“残缺”、数学题的“残缺”、数学史上的“残缺”三个方面阐述在教学中如何利用数学中的残缺美来激发学生的学习兴趣，训练学生的思维能力，培养学生的道德品质，让数学中的“维纳斯”绽放光彩.
关键词：残缺美；数学知识；数学题；数学史
罗浮宫中的维纳斯雕像之所以动人，在于她那独有的“残缺美”. 任何一个人面对维纳斯，首先看到的就是她残缺的双臂，尤其是那右臂，齐刷刷地被夺去. 面对这残缺的双臂，人们扼腕，人们叹息，甚至流泪. 维纳斯断臂的美，就在于让观者产生无穷无尽的想象，让人尽情感受她的整体美，断臂的维纳斯让人想象她无数双秀美的玉臂，给我们留下了想象的空间. 让审美者用自己的心灵和感受去填补空白，这恐怕就是断臂所带来的残缺之美的妙处.
数学是美的科学，追求数学美是数学发展的动力之一，也是学生学习数学的动力. 数学本身从形式到内容都充满了美，如简洁美、对称美、和谐美与奇异美等. 教师授课时大都十分注意引导学生去欣赏此类“完美”，而对“不完美”之处甚少提及. 其实数学的发展史就是一部维纳斯的制作史，数学中的残缺比比皆是. 对于这些残缺，教师不仅不用回避，更应引导学生去欣赏. 本文刍议在教学中如何利用数学中的残缺美来激发学生的学习兴趣，训练学生的思维能力，培养学生的道德品质，让数学中的“维纳斯”绽放光彩.
数学知识是一个有机联系的整体，但数学教学必须从这个整体中理出知识传授的先后顺序. 这就好像要从一张复杂的网中理出一条单一的线路，无论如何理都不可能将这张网中的每个纽节都按先后顺序纳入其中. 因此，在教材教参的编写中难免会产生严密性与简约性的矛盾. 有时，为了便于学生掌握，需要将某些知识简约化，将一些虽有关联但不很重要的问题忽略掉或者作为以后的教学内容，从而造成数学知识的“残缺”. 对于这一类“残缺”，教师可以有意识地选择一些内容，因势利导地引导学生发现问题，激发他们的求知欲，从而培养学习数学的兴趣.
1. 过程性“残缺”
过程性“残缺”指在整个数学教学过程中，因后续内容暂时还没有学而导致的“残缺”. 在我们的教科书中，数学始终在自我矛盾中发展. 如实系数一元二次方程当判别式小于零时在实数范围内无解，在复数范围内却有解，初中教材中角的定义与高中教材中角的定义不同等. 数学的发展是为了解决以往的“残缺”. 教师在授课时应抓住这一点，使学生感到有惑，方能增加学习兴趣，开动思维. 比如一次立体几何习题课中，有学生提问：平面向量可以解决平面几何问题，那么除了运用空间点、线、面的判定及性质定理，还有没有其他方法解决立体几何问题？一石激起千层浪，学生们议论纷纷，空间向量的雏形呼之欲出. 但是笔者并没有急于讲解，只对学生说在以后的教材中会学习到. 这样留下一个不完美的结局，让学生去研讨、解惑，从而激发学生学习的欲望，提高学习的兴趣.
又如高中阶段解题中经常使用的韦达定理让许多学生萌生这样的疑惑：一元三次方程根与系数有无类似的性质？一元n次方程呢？笔者就碰到过一位很愿钻研的学生，他根据韦达定理的推导原理（根据代数基本定理“任何一元n次方程在复数集中必有根”，因此该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积，两端比较系数即得韦达定理）得到了一元三次方程中根与系数的关系. 正是这种知识的残缺激发了学生的求知欲，使他在思维发展中迸发出耀眼的智慧之光.
2. 概念性“残缺”
概念性“残缺”指有些教学内容因界定不明而出现的“残缺”. 如人教版《必修2》二面角概念中角度的范围未明确给出，0°和180°是否在其范围之内？能否超过180°？学生对这种书本上未直接给出的知识探究热情倍增. 教师只需引导他们发现问题，而不用替他们解决，让他们自己去完整知识. 在此过程中，学生不仅开发思维，深刻地理解了定义，那种巨大的成就感更提升了他们学习数学的积极性.
3. 关系性“残缺”
关系性“残缺”指有些教学内容因包容不周全、相互不统一等与逻辑关系相关的“残缺”. 如直线方程的四种形式在解决直线方程相关问题时各自体现出强大的功能，有其“优美”的一面，但是同时还有不能表示某类直线的“缺陷”；等比数列前n项和公式当q=1时和q≠1时，形式不统一；立几、解几中对两条直线所成的角的定义不统一等. 此外，数学概念中，经常有“特别的…、当且仅当…、其中…”等特殊字眼.这些不和谐也构成了数学的残缺美，为锻炼学生完整思维、培养学生良好的思维习惯、熏陶学生的思维态度、提高他们的思维品质提供了丰富的素材. 只有这样，才能使学生形成完美的世界观和方法论. 教学中应让学生充分地注意到这些“缺陷”， 通过不断的接触，不断的反思，使他们的认知元在无数次的充实和优化中得到升华，以培养思维的严密性；并且要求学生随时注意“一般+特殊”的基本思考问题方法，发挥问题“优美”的一面，弥补问题“缺陷”的一面.
数学教学离不开分析例题，也离不开布置习题，但是数学题目也存在着“残缺”的现象. 数学题目的“残缺”主要指由于出题人考虑不够周全而导致的题目“残缺”，也就是我们平常所说的错题. 有些人认为错题根本连题目都算不上，不应让学生面对，应直接删去. 笔者的意见是只要教师合理引导学生去欣赏这些题目中的“残缺美”，就能使得这种“缺陷”成为我们培养学生思维品质的工具，而不是对问题的遗憾.
笔者把常见的残缺题分成四类：
1. 出题不严密导致残缺
本题的错误是没有考虑函数f（x），g（x）的公共定义域为空集的情况，而这恰恰是我们课本对单调函数定义中的一个“残缺”. 然而，我们可以应用这个典范来加强学生注意公共定义域，从而使这个“高考错题”发挥它特有的美——残缺美. 这类错题是用来强化学生概念、培养思维严密性的好题材.
2. 错误的数据导致残缺
数学家波利亚在《解题表》中把解题分为四个步骤：弄懂题义，拟订方案，执行方案，检验回顾. 而学生往往只做了前三步，对最后一步“检验回顾”不够重视. “反思”在当代认识心理学中属于元认知的范畴，它是指对自身的思维过程、思维结果进行再认知和检验的过程. 在数学学习的过程中，反思提供了体现数学“残缺美”、发现数学“残缺美”的真正内涵的作用. 借助这类错题，可以令学生感受到“检验回顾”的重要性，养成反思的习惯.
3. 多解或无解导致残缺
此结论只要一回眸就可知有残缺，a3显然不存在，教师可以让学生自己推敲，找出产生残缺的原因（当n=2时，题设中的等式为（a1-a2）a3=（a2-a3）a1，得a3=1+a3，即1=0. 题设中的等式显然不成立，故不存在这样的数列，本题无解）. 这样的残缺能引起学生的好奇心与求知欲，使他们感到有惑，从而主动地、积极地去探究，比一帆风顺地、完美地解决一道题更有意义.
有些题有无穷解，却被要求写出有限解，如《浙江省普通高中新课程作业本》中有一题：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S+2n=（2n+1）Sn，求该数列的通项公式.
这是一个已知Sn求an的应用问题，标准答案中的解法看似完美，然而一位学生解答为：1，0，5，2，……，一检验竟然成立！
笔者经过分析后，以此为契机，对学生进行了问题解决过程中的思维批判性训练. 首先提出了产生错题、出现错解的原因——没有认真的反思、认知水平的局限、数学方法的定式. 然后，笔者和学生一起探究正确的解决问题的思维过程（这事实上是一个函数方程的问题，Sn=1或Sn=2n是两个函数方程，而且解并不唯一，有无穷多个），并让学生尝试改编使其正确，结果这道错题被改编成了一道开放性试题：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S+2n=（2n+1）Sn， 求数列{an}的一个通项公式； 写出3个满足这样条件的数列；当n=5时，写出所有满足条件的数列.
纵观这道题的教学过程，从分析、演绎一个错题，得出一个错误的结论，到函数方程解的无穷性，最后以一组开放性问题结束，我们经历了一个数学再发现的过程，这是一个在原有知识经验基础上积极建构的过程，从中丰富了对数列通项探索的认识（属于元认知知识），获得了正、反两方面的认知体验与情感体验（属于元认知体验），进行了自觉的解题调控（属于元认知调控）. 这些收获是对错题错解不断体验、探索、纠正而得到的，它既充实，又优化了原认知结构. 此类题目只要合理运用，就可以让学生完完美美地享受“残缺”的美丽.
4. 少条件或多条件导致残缺
老子云：“大音无声，大象无形”，即是说最大的乐声听来反而无音响，最大的形象反而看不到形迹. 我国古代绘画中体现了空白艺术，虚实相生，无画处皆成妙境. 如齐白石画虾，他只画虾的动作，而空白处观赏者便想象成了水. 空白艺术与残缺美是一脉相承的，教师有时可以刻意拿掉题目中的一些条件，制造空白，给学生留出想象的空间.
如某次讲义由于打印不当出现一题：已知直线y=2x+m与抛物线y=x2相交于A，B两点，求直线AB的方程.
题目明显缺少条件.学生看后询问，是不是有内容未印出，是什么？笔者故意作忘，轻描淡写地让学生自己加一个条件. 学生添加了以下条件：
此题从出题意义上属于送分题，事实上绝大多数学生能得满分，但值得注意的是题中条件“A为锐角”为无效条件，那么教师是否应该把这类题先去掉无用的条件再放到学生面前呢？答案是否定的. 因为学生面对的真实世界并不像习题里设置得那样天衣无缝.在真实的实际问题面前，学生首先得挑选有用的条件和数据，抛弃无用的信息，没有人事先帮他们进行过滤. 同样，在课堂里，教师不应当把这种过滤工作永远包办代替.
新的《数学课程标准》增加了有关数学史方面的内容，使数学史教学真正走进数学课堂. 数学史中自然也有残缺.如17世纪法国数论大师费马在研究古希腊数学著作《算术》时写下了“费马大定理”，并在其批注的书页上写到：“我已发现此命题的一个真正奇妙的证明，但是这页边空白太小，写不下这个证明.” 留下了让全世界数学家困惑了300多年的谜. 又如哥德巴赫猜想是1742年德国数学家哥德巴赫在写给欧拉的信中第一次提出的，欧拉回信说他验算到100没有发现错误，但是不能给出一般性的证明. 这个“不能”至今没有变成“能”.
无数数学家为了攻克难关而努力，为了追求真理穷其一生的榜样示范让学生获得顽强学习的勇气，在学习中遇到的挫折不再轻言放弃. 数学家在追求真理的过程中所表现出的严谨的科学态度和献身精神正是教育学生最好的范例. 由于 “页边太小”的“缺陷”使许许多多“费马”痴迷者和数学大家前赴后继地倾注时间和心血，从而使数论飞速发展；皇冠上的明珠虽未被摘取但数学家为之付出的努力却为解决其他的数学问题提供了有力的帮助. 让学生明白“失之东隅，收之桑榆”，付出终有回报，让学生学会辩证地看问题. 哥德巴赫猜想至今尚未被解决，也许永远无法解决，让学生懂得“金无足赤，人无完人”，能够接受与面对残缺. 学习这样带有遗憾、残缺的数学史，能帮助学生树立正确的价值观和人生观.
维纳斯正因为失去了双臂，才拥有了无数双玉臂. 残缺之所以美，是因为它能引起人们无限神秘的遐想. 数学中的维纳斯——数学的残缺美赋予了学生想象的空间与探究的素材. 教师应利用这些“残缺”来放飞学生的思想之翼，引领学生在新月半弯中期待满月之美.