【摘要】通过对最速降线问题解的过程的分析，将数学中分析的、几何的、代数的基本概念和基本方法有机地整合在一起.通过这种由浅入深、承上启下的教学方法，无疑会对提高学生学习数学的兴趣产生积极的作用.
【关键词】最速降线；分析；代数
课题：遵义师院教研课题“‘初等数论’指导高中专题‘初等数论初步’教学研究”编号：11-22
最速降线问题是由约翰·伯努利兄弟、牛顿、洛必达等人加以解决的一个极值问题＼[1＼]，属变分学范畴.
最速降线是这样一条曲线，当质点沿着不在同一铅垂线上的两点的连线下滑时，所用时间最少的那条曲线即是最速降线，也叫旋轮线，这条曲线不是直线也不是圆弧.
如图所示，设质点在重力作用下沿一条曲线由A点无摩擦和空气阻力地向不在同一垂线上的更低点B滑动，在没有其他力的影响下，沿什么曲线下滑能使所需时间最少？
根据能量守恒原理，质点在某高度处速度完全由它到达该高度时所损失的位能确定，而与所经路线无关.设质点无能运动速度v=2gy，其中g是重力加速度，y是所求曲线，它是定义在[a，b]上的连续函数，由于v=ds1dt，所以dt=ds1v，若质点在M处开始下滑，此时设初速度为零，那么它在A处速度为va=2g（y（a）-d），而在任何一点处的速度为v=2g（y（x）-d），但另一方面ds=1+（y′（x））2dx，于是由A到B滑动时所需要的时间为J=∫ba1+（y′（x））212g（y（x）-d）dx.
于是最速降线问题变为要找一个定义在[a，b]区间上的连续函数，使上面的积分取最小值＼[2＼].
设想质点能选择下滑路线，并能像光那样使自己滑行时间最短，且下滑速度应由慢变快.由图中几何关系知：
sinα=cosβ=11secβ=111+tan2β=111+（y′）2.
由于 sinα1v=常数C，因而sinα1v=111+y′212gy=常数C，y（1+（y′）2）=C，这即是最速下降线的方程，它是圆滚线：x=e（θ-sinθ），y=e（θ-cosθ），其中e是常数，θ是参数.因此，最速降线也叫旋轮线或圆滚线.
下滑所需时间J与所沿的滑动曲线有关，可把J看作是曲线的函数，即J看作是定义在[a，b]上的函数y（x）的函数，记作J（y），由于定义在[a，b]上的函数有无穷多个，我们设想它们是某个“空间”中的“点”，并且对此空间定义“点”的“邻域”和点列的极限，引进J（y）的连续等概念，使之成为拓扑空间.于是就可用几何（拓扑学）的方法来处理.
如果把这些曲线看作元素，在所有这些元素组成的集合上引入类似于数的运算，即在这些元素之间引进“加法”、“减法”等运算，便可考虑此集合的代数结构，使之成为线性空间，从而可用代数的方法来处理.
当我们在这个集合上引入类似于直线上两点间的距离时，使之成为度量（距离）空间.于是我们又可用分析（或泛函）的方法来处理.
回到上述最速降线问题，设X表示[a，b]区间上的所有连续函数全体组成的集合，用x（t），y（t）表示X中的点，引入距离＼[3＼]如下，令ρ（x，y）=maxtx（t）-y（t），显然，ρ（x，y）≥0且ρ（x，y）=0仅当x（t）≡y（t）以及ρ（x，y）=ρ（x，y），ρ（x，z）=maxtx（t）-z（t）≤ρ（x，y）+ρ（y，z）（z∈R），
即ρ（x，y）=maxtx（t）-y（t）满足度量空间的三角公理.而具有上述距离的[a，b]上的所有连续函数的集合称为连续空间，用C[a，b]代表，于是[a，b]上的一切连续函数的集X在上述距离下便构成一个度量空间，记作C[a，b].
我们在X上定义加法和数乘如下：对任意的x，y∈X和常数a，定义加法为（x+y）（t）=x（t）+y（t），定义数乘为（ax）（t）=ax（t）.则不难验证X成为一个线性空间.
对任意的x∈X，定义‖x‖=max|x（t）|容易验证‖x‖为X上的一个范数，因此X为赋范线性空间，用[X；‖·‖]表示.在赋范线性空间中可引进距离，若设x1，x2∈X，定义d（x1，x2）=‖x1-x2‖，则同样容易验证d（x1，x2）为[X；‖·‖]上的距离函数，此时X又同时是距离空间.于是，在赋范线性空间X中，便可定义以x0为中心，ρ为半径，当‖x-x0‖≤ρ时为闭球，当‖x-x0‖>ρ时为开球，于是数学分析中的许多概念和方法就可运用于其中了.
积分算子：J=∫ba1+（y′（x））212g（y（x）-d）dx是对定义在[a，b]上的函数y（x），经过在[a，b]上积分的运算而变成另一个函数（或数）J，我们称为算子（或泛函）.这种算子（或泛函）在应用数学中经常遇到.例如拉普拉斯变换、福里哀变换等.按照这种方法，我们的问题就变成求解上述积分算子在[a，b]区间上的连续空间C[a，b]上泛函的最小极值.
由上可见，这个问题其实是作用在一个函数上已产生的函数（或者数），在这一函数中找出一个使积分取最大值或最小值的函数，数学中许多领域处理的就是作用在函数上的变换或算子，所有这些算子都可以在作用于一类函数上的算子的一种抽象形式下加以研究，于是，这类问题可以这样考察，把一些函数的集合看作“空间”，而把函数本身看作这种空间中的点或元素，这样，算子就把点变成点.在这些元素之间引进运算，就可考虑此集合的代数结构，还可以在这个空间中考虑两点间的距离，引入“距离”以及其他概念，由此，几何的、代数的、分析的基本概念和方法就能有机地融合在一起了.
随着分析的深入，把这些概念和方法几何化，不同类型的函数可看成函数空间的点或矢量，由此引出距离空间、赋范线性空间等.引进抽象空间以后，分析上的许多问题就可以用几何的语言来解释，这样就在分析中找到了新的几何方法，同时随着几何概念的推广也产生了对代数概念的推广.
【参考文献】
＼[1＼]＼[美＼]M.克莱因.古今数学思想（第二卷）＼[M＼].上海：上海科学技术出版社，1979，323-324.
＼[2＼]李哲岩，张永曙.变分法及其应用＼[M＼].西安：西北工业大学出版社，1989，1-2.
＼[3＼]＼[苏＼]Л.A.刘斯铁尔尼克，B.И.索伯列夫.泛函分析概要＼[M＼].北京：科学出版社，1985，60-64.