摘 要：针对刚性航天器姿态机动问题设计了能够有效减小能量损耗的非线性状态反馈控制器。由于修正罗德里格斯参数（modified rodriguesparameter， MRP）原始集在特征轴旋转角为±360°时存在奇异点，而相应的MRP映射集（shadow set）的奇异点处于特征轴旋转角为0°。将MRP原始集与映射集结合起来，实现全局非奇异姿态描述，解决了航天器姿态控制中的退绕（unwinding）问题。利用平方和（SOS）方法设计非线性状态反馈控制律，实现航天器全局姿态渐近稳定控制，同时实现更短控制路径，保证了控制过程中特征轴旋转角 。仿真结果表明了在干扰条件下该控制方法可有效控制航天器姿态稳定，且对能量损耗给出了定量分析结果。
关键词：平方和法；MRP映射集；全局渐近稳定；退绕问题
DOI：
中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：
Global attitude stabilization of rigid spacecraft considering unwinding problem
BI Xian-ting， SHIXiao-ping
（Control and Simulation Center， Harbin Institute of Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：A nonlinear state feedback controller which can effectively decrease energy consumption is designed for attitude maneuver of rigid spacecraft. Modified Rodrigues Parameter set possesses a singularity as the principal angle of rotation reaches ±360°， while the singularity of the corresponding shadow set occurs as the principal angle of rotation is 0°. This paper combines the MRP original set and the shadow set for a global non-singularity description， which avoids the unwinding problem in spacecraft attitude control. The nonlinear state feedback control law， which is designed based on sum of squares （SOS） method， can achieves both the global asymptotic stability and also the shorter control path， since the principle angle of rotation is bounded in 180°. Simulation results illustrated that the spacecraft attitude can be stabilizedwith the designed controllerunder perturbation and the energy consumption is also analyzed.
Keywords： sum of squares （SOS）； MRP shadow set；global asymptotic stable； unwinding problem
0引言
刚性航天器在姿态机动过程中存在非线性耦合问题，如果利用线性状态反馈控制律[1]，虽然控制器容易实现，但是系統为局部收敛，反馈增益的计算与航天器初始状态有关，不利于实际应用[2]。而非线性控制律的设计涉及到Lyapunov函数的选取，由于Lyapunov函数通常是根据经验选取，并没有系统的方法，这给非线性控制律的设计带来了难度。
平方和法是近年来提出的利用平方和多项式研究非线性问题的方法。该方法可以用于解决一些正定问题，得到满足要求的Lyapunov函数并求解满足渐近稳定性的高阶多项式形式的状态反馈控制律。尤其是最近开发出来的SOSTOOLS软件包将问题转化成半定规划问题（semidefinite program， SDP），利用凸优化求解工具包，如SeDuMi，可以很方便的求解出来[3]。目前已有文献将SOS方法应用于航天器姿态机动问题[4-6]，其中文献[5]利用修正罗德里格斯参数（modified rodrigues parameter， MRP）对航天器进行运动学建模，直接给出系统的Lyapunov函数和控制律。
虽然MRP可以很好的描述航天器姿态，但是当特征轴转动到±360°时，出现奇异点。对此，文献[7]将MRP一般化，提出投影映射参数，得到奇异点在0°的映射集 。文献[8][9]应用MRP映射集避免了奇异问题，受此启发，本文将MRP的原始集 与映射集 相结合，当 时切换成 ，以保证姿态参数始终保持在单位球内。控制过程相当于当特征轴转动角 时，控制器控制航天器姿态收敛到360°，解决了航天器姿态运动过程中的退绕问题[10-14]，因此与文献[5]相比，该方法有效减小了控制所消耗的能量。
1修正罗德里格斯参数
修正罗德里格斯参数（MRP）原始集定义为
，（1）
式中： 为旋转主轴， 为绕主轴旋转角。 在 处出现奇异。
修正罗德里格斯参数的映射集定义为：
。（2）
用 代表通用的MRP，即 包括 和 。 只有在 处为奇异点。
两者的几何关系见下图所示，因此，当 在单位球内时， 被映射在单位球外，反之亦然。
图1 MRP原始集与映射关系示意图[7]
Fig.1 MRP original set and shadow set[7]
因此两者结合时，可以实现航天器姿态的全局非奇异描述。此外，当航天器姿态角大于180°时，若以映射集为被控量，姿态角将收敛到360°，绕主轴旋转角始终保持在180°范围内，为最短收敛路径，解决了退绕问题，有利于降低能量消耗。
2刚性航天器数学模型建立
对于刚体航天器，基于MRP的运动学方程为
，（3）
式中： 为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的修正罗德里格斯参数集， 为航天器角速度在惯性坐标系下的矢量形式。方程（3）中的矩阵 ，具体形式为：
，（4）
式中 为斜对称矩阵。
。（5）
航天器动力学模型为：
，（6）
式中： 是刚体的惯量矩阵， 为控制输入， 为 的斜对称矩阵， 为干扰力矩，本文采用重力梯度力矩。
对刚性航天器的动力学模型（6）和运动学模型（3）进行整理，得到名义状态空间模型为：
，（7）
式中 ；
其中 ～ 与 ～ 对应；
。
3控制器设计
定理1.对于系统（7），如果存在矩阵 ，满足如下约束：
（8）
则存在保证系统渐近稳定的控制律 ，且不存在退绕问题。其中， ； ， 为多项式函数。
证明：
选取Lyapunov函数：
，（9）
其沿状态轨迹（7）的导数为：
，（10）
设计非线性状态反馈控制律的形式为：
，（11）
代入方程（10）得到：
。（12）
因此，若要保证系统渐近稳定性，需要 ，即要求如下不等式：
。（13）
对该式两端同乘 ，整理得到第2个约束条件。
根据MRP定义可知，当特征轴转角 时， ； 时， ； 时， 。根据（8）中第3个约束条件，模型在 处发生切换。考虑到
。（14）
为保证 始终在单位圆内，当 或 时，即满足（8）中第三个约束条件时时发生切换。
证毕。
注释1：与文献[1][2]相比，该控制器设计过程与系统初始状态无关。
4仿真验证
本文考虑由重力梯度力矩 产生的干扰。 ，其表达式[11]为：
，（15）
。（16）
式中： ， 为地心引力常数， 为航天器质心与地球质心距离， ， ， 为由MRPs表示的方向余弦矩阵：
。（17）
假设航天器转动惯量矩阵为 ，运行在400km圆轨道上，轨道倾角40°，此时轨道角速度为 ，根据公式（15）-（17），得到重力梯度力矩如图2所示。
利用SOSTOOLs工具包，求解得（8）中的三个约束条件，得到控制律：
（18）
本文采用文献[5]设置的参数进行仿真，以便于比较。为说明问题，本文对绕特征轴 旋转 所对应的姿态参数 ，初始角速度为零，根据控制律（18），对干扰力矩作用下的刚性航天器进行大角度姿态控制，得到仿真结果如图3-6所示，由于MRP不具有明显的物理意义，为便于工程理解，本文将其转化成欧拉角显示。
由于初始MRP的原始集 ，因此切換成映射集 ，如图3所示，对应欧拉角从-180°方向向0°收敛，如图4所示。整个控制过程中，控制力矩限制在±4N·m内，且在20s内达到稳定状态。针对本文中加入的重力梯度力矩干扰，具有鲁棒性。
为了对能量损耗进行定量分析，定义能量函数：
。（19）
分别对文献[5]中所设计的控制律和本文所设计的控制律计算能量函数，结果如图7所示。该仿真结果显示，文献[5]中所设计控制律控制系统达到稳定状态所需能量为304.5，利用本文所设计控制律所需能量为2.19，明显低于文献[5]中的结果。
5结论
本文利用SOS方法对刚性航天器进行大角度姿态控制律设计。通过MRP原始集与映射集的切换，解决了退绕问题。由于MRP原始集与映射集本质相同，满足相同的运动学方程，因此所设计的控制律不变，只需要在程序中进行参数判断与切换，容易实现；与此同时，原始集与映射集的结合保证了系统全局无奇异点，实现了系统全局渐近稳定。这在工程实际中也具有应用价值。在以后的研究中，将考虑传感器测量时延导致的参数切换抖颤现象。
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